Parece que refieres a la transformada de Laplace. Aplica la transformada a los lados ambos de la ecuación diferencial:
[tex]\mathcal L_s\{y''(t)-6y'(t)+9y(t)\}=\mathcal L_s\{t\}[/tex]
Denota por [tex]Y(s)=\mathcal L_s\{y(t)\}[/tex] la transformada de [tex]y(t)[/tex]. En el lado izquierdo obtenemos
[tex]\mathcal L_s\{y''(t)-6y'(t)+9y(t)\}=\mathcal L_s\{y''(t)\}-6\mathcal L_s\{y'(t)+9\mathcal L_s\{y(t)\}[/tex]
[tex]\mathcal L_s\{y''(t)-6y'(t)+9y(t)\}=(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0))-6(sY(s)-y(0))+9Y(s)[/tex]
[tex]\mathcal L_s\{y''(t)-6y'(t)+9y(t)\}=(s^2-6s+9)Y(s)-1[/tex]
[tex]\mathcal L_s\{y''(t)-6y'(t)+9y(t)\}=(s-3)^2Y(s)-1[/tex]
y a la derecha,
[tex]\mathcal L_s\{t\}=\dfrac1{s^2}[/tex]
Ahora resuelve para [tex]Y(s)[/tex]:
[tex](s-3)^2Y(s)-1=\dfrac1{s^2}[/tex]
[tex](s-3)^2Y(s)=1+\dfrac1{s^2}[/tex]
[tex]Y(s)=\dfrac{s^2+1}{s^2(s-3)^2}[/tex]
Expande la fracción por la derecha en fracciones parciales; busque [tex]a,b,c,d[/tex] tal que
[tex]\dfrac{s^2+1}{s^2(s-3)^2}=\dfrac as+\dfrac b{s^2}+\dfrac c{s-3}+\dfrac d{(s-3)^2}[/tex]
[tex]s^2+1=as(s-3)^2+b(s-3)^2+cs^2(s-3)+ds^2[/tex]
[tex]s^2+1=(a+c)s^3+(-6a+b-3c+d)s^2+(9a-6b)s+9b[/tex]
Emparejando los términos con igual grado da el sistema con soluciones
[tex]\begin{cases}a+c=0\\-6a+b-3c+d=1\\9a-6b=0\\9b=1\end{cases}\implies a=\dfrac2{27},b=\dfrac19,c=-\dfrac2{27},d=\dfrac{10}9[/tex]
Pues
[tex]Y(s)=\dfrac2{27}\dfrac1s+\dfrac19\dfrac1{s^2}-\dfrac2{27}\dfrac1{s-3}+\dfrac{10}9\dfrac1{(s-3)^2}[/tex]
y tomar la transformada inversa es trivial. Obtenemos
[tex]\mathcal L^{-1}_t\{Y(s)\}=\dfrac2{27}\mathcal L^{-1}_t\left\{\dfrac1s\right\}+\dfrac19\mathcal L^{-1}_t\left\{\dfrac1{s^2}\right\}-\dfrac2{27}\mathcal L^{-1}_t\left\{\dfrac1{s-3}\right\}+\dfrac{10}9\mathcal L^{-1}_t\left\{\dfrac1{(s-3)^2}\right\}[/tex]
[tex]\boxed{y(t)=\dfrac2{27}+\dfrac t9-\dfrac2{27}e^{3t}+\dfrac{10}9te^{3t}}[/tex]
