Un martillo de 4.9 N con velocidad inicial de 3.2 m/s hacia abajo es detenido en una distancia de 0.45 cm por un clavo en una tabla de pino. Además del peso, la persona que lo usa le aplica una fuerza descendente de 15 N. Suponga que la aceleración de la cabeza del martillo es constante mientras está en contacto con el clavo y se mueve hacia abajo. A) Calcule la fuerza hacia abajo ejercida por la cabeza del martillo sobre el clavo mientras está en contacto con él y moviéndose hacia abajo. B) Suponga que la tabla es de madera dura y la distancia que el martillo recorre al detenerse es de sólo 0.12 cm. ¿Qué fuerza ejerce ahora la cabeza del martillo sobre el clavo, mientras está en contacto con él y moviéndose hacia abajo?

A) A partir del enunciado sabemos que el martillo contacta el clavo incrustado en la tabla de pino y es decelerado hasta alcanzar el reposo como consecuencia de la fuerza normal del clavo sobre el martillo. Asumiendo que el martillo puede representarse como una partícula, tenemos el siguiente modelo por las leyes de Newton:

[tex]\Sigma F = -F - W+N = \left(\frac{W}{g} \right)\cdot a[/tex] (Eq. 1)

Donde:

[tex]F[/tex] - Fuerza aplicada por la persona sobre el martillo, medida en newtons.

[tex]W[/tex] - Peso del martillo, medido en newtons.

[tex]N[/tex] - Fuerza normal del clavo sobre el martillo, medido en newtons.

[tex]g[/tex] - Aceleración gravitacional, medida en metros por segundo al cuadrado.

[tex]a[/tex] - Aceleración neta, medida en metros por segundo al cuadrado.

Bajo la suposición de la aceleración constante, empleamos la siguiente fórmula cinemática para encontrar la deceleración neta:

[tex]a = \frac{v_{f}^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot \Delta s}[/tex] (Eq. 2)

Donde:

[tex]v_{o}[/tex], [tex]v_{f}[/tex] - Velocidades inicial y final del martillo, medidas en metros por segundo.

[tex]\Delta s[/tex] - Distancia recorrida por el martillo, medida en metros.

Ahora, si tenemos que [tex]F = 15\,N[/tex], [tex]W = 4.9\,N[/tex], [tex]v_{o} = 3.2\,\frac{m}{s}[/tex], [tex]v_{f} = 0\,\frac{m}{s}[/tex] y [tex]\Delta s = 4.5\times 10^{-3}\,m[/tex], entonces la aceleración neta y la fuerza normal del clavo sobre el martillo son, respectivamente:

[tex]a = \frac{\left(0\,\frac{m}{s} \right)^{2}-\left(3.2\,\frac{m}{s} \right)^{2}}{2\cdot (4.5\times 10^{-3}\,m)}[/tex]

[tex]a = -1137.778\,\frac{m}{s^{2}}[/tex]

Puesto que la deceleración va hacia arriba, este debe escribirse como un valor positivo en la ecuación de equilibrio. Es decir:

[tex]-15\,N-4.9\,N+N =\left(\frac{4.9\,N}{9.807\,\frac{m}{s^{2}} } \right)\cdot \left(1137.778\,\frac{m}{s^{2}} \right)[/tex]

[tex]N = 588.383\,N[/tex]

Por la Tercera Ley de Newton, sabemos que la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo es la reacción de la fuerza ejercida por el clavo sobre el martillo. En consecuencia, el martillo ejerce una fuerza hacia abajo sobre el clavo de 588.383 newtons.

B) Recalculamos entonces la aceleración a partir de (Eq. 2):

([tex]F = 15\,N[/tex], [tex]W = 4.9\,N[/tex], [tex]v_{o} = 3.2\,\frac{m}{s}[/tex], [tex]v_{f} = 0\,\frac{m}{s}[/tex], [tex]\Delta s = 1.2\times 10^{-3}\,m[/tex])

[tex]a = \frac{\left(0\,\frac{m}{s} \right)^{2}-\left(3.2\,\frac{m}{s} \right)^{2}}{2\cdot (1.2\times 10^{-3}\,m)}[/tex]

[tex]a = -4266.667\,\frac{m}{s^{2}}[/tex]

Puesto que la deceleración va hacia arriba, este debe escribirse como un valor positivo en la ecuación de equilibrio. Calculamos la fuerza del clavo aplicada sobre el martillo en (Eq. 1):

[tex]-15\,N-4.9\,N+N =\left(\frac{4.9\,N}{9.807\,\frac{m}{s^{2}} } \right)\cdot \left(4266.667\,\frac{m}{s^{2}} \right)[/tex]

[tex]N =2151.711\,N[/tex]

Por la Tercera Ley de Newton, sabemos que la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo es la reacción de la fuerza ejercida por el clavo sobre el martillo. En consecuencia, el martillo ejerce una fuerza hacia abajo sobre el clavo de 2151.711 newtons.