Respuesta :
Answer:
1) 135 y 137, 2) 13 y 15, 3) El lado del cuadrado es de 14 unidades, 4) Se necesita 350 metros de valla, 5) El niño tiene 6 años de edad.
Step-by-step explanation:
1) El conjunto de los números naturales comprende al subconjunto de los números reales que son enteros y positivos. El enunciado se puede traducir con la siguiente expresión numérica:
[tex]x + (x+n) = 272[/tex]
Donde [tex]x[/tex] y [tex]n[/tex] son números naturales. Se despeja [tex]x[/tex]:
i) [tex]2\cdot x + n = 272[/tex] Propiedad asociativa/Definición de adición
ii) [tex]2\cdot x = 272-n[/tex] Compatibilidad con la adición/Existencia del inverso aditivo/Propiedad modulativa/Definición de sustracción
iii) [tex]x = \frac{272-n}{2}[/tex] Compatibilidad con la multiplicación/Existencia del inverso multiplicativo/Propiedad modulativa/Definición de división
iv) [tex]x = \frac{272}{2}-\frac{n}{2}[/tex] [tex]\frac{x+y}{z} = \frac{x}{z} + \frac{y}{z}[/tex]
v) [tex]x = 136 - \frac{n}{2}[/tex] Definición de división/Resultado
Puesto que [tex]x[/tex] y [tex]n[/tex] son números naturales, [tex]\frac{n}{2}[/tex] también debe ser entero y para garantizar la consecución entre los números, [tex]n[/tex] debe ser el elemento natural más pequeño posible. El número natural más pequeño es 1, por tanto, el valor mínimo de [tex]n[/tex] es 2. En consecuencia, el valor de [tex]x[/tex] es:
[tex]x = 136-\frac{2}{2}[/tex]
[tex]x = 136-1[/tex]
[tex]x = 135[/tex]
Los dos números naturales consecutivos son 135 y 137.
2) El enunciado se puede traducir en las siguientes dos ecuaciones matemáticas:
[tex]x+y = 28[/tex]
[tex]x^{2}-y^{2} = 56[/tex]
Se despeja una de las variables de la primera ecuación y se elimina la variable correspondiente en la segunda ecuación:
[tex]x = 28-y[/tex]
[tex](28-y)^{2}-y^{2} = 56[/tex]
Se expande la ecuación resultante por álgebra de reales:
[tex]784-56\cdot y +y^{2}-y^{2} = 56[/tex]
[tex]784-56\cdot y = 56[/tex]
[tex]56\cdot y = 784-56[/tex]
[tex]56\cdot y = 728[/tex]
[tex]y = 13[/tex]
Finalmente, se halla el valor de la variable restante:
[tex]x = 28-13[/tex]
[tex]x = 15[/tex]
Los dos números naturales son 13 y 15.
3) Las fórmulas para el área ([tex]A[/tex]) y el perímetro del cuadrado ([tex]p[/tex]) son, respectivamente:
[tex]A = l^{2}[/tex]
[tex]p = 4\cdot l[/tex]
Donde [tex]l[/tex] es la longitud del lado del cuadrado.
De acuerdo con el enunciado, existe la siguiente condición:
[tex]A + p = 252[/tex]
[tex]l^{2}+4\cdot l = 252[/tex]
[tex]l^{2}+4\cdot l -252 = 0[/tex]
La ecuación resultante es un polinomio de segundo orden, cuyas raíces se obtienen por la Fórmula Cuadrática:
[tex]l_{1} = 14[/tex] y [tex]l_{2} = -18[/tex]
La primera raíz es la única solución razonable para la condición dada.
El lado del cuadrado es de 14 unidades.
4) Dado que la finca tiene una área rectangular y que se conoce la medida de la diagonal así como la diferencia entre el largo y el ancho, se puede determinar las variables restantes a partir del Teorema de Pitágoras:
[tex]d^{2} = l^{2}+w^{2}[/tex]
Donde:
[tex]d[/tex] - Diagonal, medida en metros.
[tex]l[/tex] - Largo, medido en metros.
[tex]w[/tex] - Ancho, medido en metros.
Además, las relaciones son las siguientes:
[tex]l = w + 25\,m[/tex]
[tex]d = 125\,m[/tex]
Se desarrolla y simplifica la identidad pitagórica hasta obtenerse un polinomio de segundo orden:
[tex]125^{2} = (w+25)^{2}+w^{2}[/tex]
[tex]2\cdot w^{2}+50\cdot w -15000 = 0[/tex]
Las raíces del polinomio se hallan con ayuda de la Fórmula Cuadrática:
[tex]w_{1} = 75[/tex] y [tex]w_{2} = -100[/tex]
Solo la primera raíz ofrece una solución razonable, el ancho del rectángulo es de 75 metros. Por último, se halla el largo de la figura:
[tex]l = 75\,m+25\,m[/tex]
[tex]l = 100\,m[/tex]
El largo del rectángulo es de 100 metros.
El perímetro del rectángulo ([tex]p[/tex]), medido en metros, es calculado por la siguiente fórmula:
[tex]p = 2\cdot (w+l)[/tex]
[tex]p = 2\cdot (75\,m+100\,m)[/tex]
[tex]p = 350\,m[/tex]
Se necesita 350 metros de valla.
5) Sea [tex]x[/tex] la edad actual del niño y [tex]l[/tex] el lado del cuadrado. Entonces:
[tex]x + 3 = l^{2}[/tex]
[tex]x -3 = l[/tex]
Se reemplaza el lado del cuadrado en la primera ecuación con ayuda de la segunda ecuación:
[tex]x+3 = (x-3)^{2}[/tex]
[tex]x +3 = x^{2}-6\cdot x + 9[/tex]
[tex]x^{2}-7\cdot x+6 = 0[/tex]
Las raíces se obtienen por factorización:
[tex](x-6)\cdot (x-1) = 0[/tex]
[tex]x = 6 \,\wedge \,x = 1[/tex]
Ambas raíces son parecen razonables, se comprueba cada una para ver si satisfacen las condiciones del enunciado:
x = 1
[tex]1+3 = l^{2}[/tex]
[tex]4 = l^{2}[/tex]
[tex]1-3 = l[/tex]
[tex]-2 = l[/tex]
Si bien está matemáticamente bien, no lo es en lo que respecta a edad.
x = 6
[tex]6+3 = l^{2}[/tex]
[tex]9 = l^{2}[/tex]
[tex]6-3 = l[/tex]
[tex]3 = l[/tex]
Esta solución es correcto en cuanto a matemática y edad.
El niño tiene 6 años de edad.
